一道高考题-2022年数学高考2卷第10题,2021高考数学试卷

一道高考题——2022年数学高考第二册第十题

o为坐标原点，通过抛物线C:

焦点F的直线与C相交于两点A和B，点A在第一象限，点M(p，0)，如果

AF=AM，然后：(多项选择题，多项正确)

A.直线AB的斜率为26

B.OB=OF

C.AB4OF

D.OAM OBM180

解决方法：这是一个5分的问题。全部答对的得5分，部分答对的得2分，只有答错的得0分。

根据评分原则，要想拿到5分，每个选项都要验证，所以这绝对不是一个容易的评分题，涉及到计算和技巧的应用。

首先绘制一个草图，如下所示：

首先需要A点的坐标。有两种方法。一种是用AF=AM，两点之间的距离相等，或者距离的平方相等：

所以a的坐标xa可以求出为3p/4。

另一种方法是利用f和m的中点坐标，即xA=3p/4，

这样可以求出yA=6p/2。

这样就可以根据A和f两点确定AB的斜率。

K=(6p/2)/(3p/4-p/2)=26

所以选项A是正确的。

利用上面的k=26，可以确定直线AB的方程为y=26(x-p)，带入抛物线方程

得到b点的坐标XB=p/3，Yb= 6p/3

通过查有OB=7p/3，但是OF=p/2，也就是B错了。

(3)根据A点和B点的坐标，利用两点间的距离公式，得到AB=25p/12。

但最快的方法是用抛物线的定义。A和B到F的距离之和等于A和B到准线的距离之和，即AB=(3p/4 p/2) (p/3 p/2)=25p/12，

还有4OF=2p，

所以C的选项是正确的。

(4)

这个也有两种判断方式，一种是余弦定理，因为OA，OB，MA，MB是可以计算的，在上面AB的(3)中已经得出结论。只要计算cosAMB和cosAOB的分子，判断它们的正负值，就可以都是负值，说明两个角都大于90，计算量很大。

这里有另一种计算量较小的判断方法，它使用两个向量的乘积：

得出四边形另外两条对角线之和小于180，所以D是正确的。

最后一个答案是ACD。

后记：这道题难度不大，但作为选择题，计算量很大，平时的技巧和计算能力一定要培养。