这种解法能看懂的是学霸中的学霸2022高考数学理科乙卷压轴题,学霸2021答案

2022高考数学理科B卷压轴题太多，应该应用到三阶导数上。不仅如此，还有使用极限的想法，不仅超一流，而且快得超越银河系，连老黄吹牛的速度都跟不上。老黄在常规分析完这个问题后，还会提供一个非常不同的原创解决方案。能理解这个解决方案的都是学霸中的学霸。老黄是个糟老头子，已经没有资格选学霸了，所以老黄不是“王婆”！

函数f (x)=ln (1x) axe (-x)已知。

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))的切线方程；

(2)如果f(x)在区间(-1，0)和(0，)中恰好有一个零，求a的取值范围.

分析：(1)无论题目有多难，第一题总会获奖。求x=0处的导数，即切线斜率，然后求x=0的函数值，得到切点坐标。有一个斜率，有一点坐标，用点斜法求出切线方程。而且这个问题的切点还是原点，只要有斜率就行了。这样一个简单的问题和第二个问题形成了鲜明的对比。

(2)其实如果把第(1)项的形象画出来，可以得到一些启发。

上图是a=1时的图像，所以我们可以猜测，当A大于0时，函数在任一区间都可能不为零。其实我们只需要选择容易证明的单侧区间来检验即可。而当a=0时，也属于这种情况。

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从第一个案例中，我们可以再次得到启发。只要找到一些特殊值，做一个草图，就可以大致推导出a的取值范围，整个过程就像摸虾一样。下图是A开[-1，0]时的情况：

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可以看出，在这种情况下，虽然左半部分有唯一的零点，但右半部分仍然没有零点。所以，继续做小一点。下图显示了a小于-1时的情况：

现在我们大概找到答案了，猜测答案是A小于-1。把答题变成证明题。否则，想要直接通过运算得到结果，只能用老黄独创的方法。但要证明这一点并不容易。下面组织解决问题的过程，在解决问题的过程中给大家分析一下：

解法：(1)当a=1时，f' (x)=1/(1x) (1-x) e (-x)，

F'(0)=2，f(0)=0，即切点为原点。切线方程是：y=2x。

(2)f '(x)=1/(1x)a(1-x)/e x=(e x a(1-x 2))/(e x(1x))，使分母大于0。所以只需要分析分子的情况，这是很常见的方法。

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I .若a大于等于0，则在(-1，0)上有f' (x) 0，f (x)单调递增，f(x)f(0)=0。放下枪。因为“A加一个不等号”容易被判断为敏感词，所以这里所有关于A的不等式都用文字解释。

注：G (x)=e x A (1-x 2)，则G' (x)=e x-2ax，实际上用的是二阶导数。

二。如果-1小于或等于A小于0，那么在(0，)，g'(x)0上，g单调递增，

G(x)1 a大于0，即f'(x)0，f(x)f(0)=0。扔掉它！都是之前分析过的，比较简单。下一步是证明当A小于-1时，两个区间都存在唯一的零。

三。若a小于-1，则(0，)上有G' (x) 1)，G单调递增，

另外，g(0)=1 a小于0，g(1)=e0，有m(0，1)，这使得g(m)=0。这是第一次拿分，以后会持续使用。最后，还有一点就是隔断房，让人烧脑。

在(m，)上，f(x)单调递增，f(e(-a))=ln(1e(-a))axe(-e(-a))-a AE(-e(-a-e(-a))

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此时f在(0,+∞)上有唯一零点. 证明了右区间，接下来证明左区间成立

在(-1,0), 记：h(x)=g’(x), 则h’(x)=e^x-2a大于0, g’(x)单调增, 这其实用到三阶导数了

g’(-1)=e^(-1)+2a小于0, g’(0)=1>0, ∴存在n∈(-1,0), 使g’(n)=0,第二次用到分点

在(n,0)上, g(x)单调增, 并且 g(x)<g(0)=1+a小于0,

在(-1,n)上, g(x)单调减, 并且 g(x)<g(-1)=e^(-1), 可知在t∈(-1,n), 使得 g(t)=0, 这是在分区内再取一次分点

在(t,0)上, f(x)单调减，且f(x)>0,

在(-1,t)上, f(x)单调增，且f(e^a-1)=a-a(e^a-1)e^(-e^a+1)=a(1+(1-e^a)e^(1-e^a))<0，参考答案直接就说：当x->-1时, f(x)->-∞. 老黄找特殊值证明，就是挺麻烦的

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即f在(-1,0)上有唯一零点.

综上, a的取值范围为(-∞,-1).

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这个老黄修改过的标准参考答案能看懂，已经是学霸了。下面老黄要分享独创的方法，能看懂的，是学霸中的学霸！(只写第二小题的解法)

另类解法：(2)记：g(a)=ln(1+x)+axe^(-x)，把它看作关于a的一次函数，

当g(a)=0时，a(x)=-e^xln(1+x)/x. 把a化成关于x的函数

a’(x)=e^x((1-x^2)ln(1+x)-x)/(x^2(1+x)),

记h(x)=(1-x^2)ln(1+x)-x，则h’(x)=-2xln(1+x)-x=-x(2ln(1+x)+1),躲不过还是要用到二阶导数

在(0,+∞)上, h’(x)<0, h单调减，∴h(x)<0, 从而a’(x)<0, a单调减, 这说明在这个区间上，f(x)有唯一零点. 因为一个a对应一个x，使f(x)=0

在(-1,0)上, 求得h(x)存在唯一的极大值点x=e^(-1/2)-1=b.此处省略一百字，不是写不出来，而是实在没有什么必要，难道老黄算错了吗？记为b，是为了后面描述方便

h(x)≤h(b)=e^(-1)/2-2e^(-1/2)+1=(e^(-1)-2)^2/2-1,

又h(b)>(1/3-2)^2/2-1=7/18>0, h(0)=0, ∴a(x)在[b,0)上单调增,

由x→-1^+时, a(x)→-∞, 知a(x)在(-1,b]上有极大值点c, 因为h在(c,b)上仍大于0，而在(-1,c)上小于0，这是h的单调性决定的

且当x→0时, a(x)→-1, ∴a(c)>-1, 这其实是a的连续性决定的，这就决定了，在(c,0)的区间上有两个a值，对应同一个x，使f(x)=0，因此这个区间要排除

∴a的取值范围为a小于-1. 因为当a小于-1时，a(x)在两个区间上都单调，保证一个a在两个区间上都只有一个x与之对应，使f(x)=0都是唯一的

老黄这个方法虽然也挺麻烦，但是感觉比参考答案还是要简便不少的。不过如果老黄在考场上也无法完成这种无法，完成了，我怕批卷的老师也看不懂。您觉得呢？