这是高考学霸必会知识内容你清楚了吗？,成为学霸的必备要点

自从学生接触到函数的知识以来，函数就成为数学学习中的一个难点。无论是初中还是高中，如何学好函数一直是老师和学生非常关心的问题。

比如我们分析研究近几年的高考数学试卷，你会发现函数一直是热门话题，客观题(包括选择题和填空题)和答题都有。这样的题型会和其他知识内容结合起来，形成更全面的题型，对考生来说都是挑战。

函数的单调性是函数的重要性质，很多函数问题的解都与单调性有关，比如最大值问题。所以考生在复习期间要巧妙利用函数的单调性，可以帮助你准确快速的解决函数问题。

什么是函数的单调性？

设函数f(x)的定义域为I，对于定义域I中某个区间d上任意两个自变量的值x1，x2:

1.当x1x2有f(x1)f(x2)时，那么函数f(x)就说是区间d中的增函数。

2.当x1x2有f(x1)f(x2)时，那么函数f(x)就说是区间d中的减函数。

根据定义，函数的单调性是指函数在定义域的子区间上的性质，是一种局部特征。在一定区间内是单调的，但不一定在整个域内是单调的。

与函数单调性相关的高考题，解释与分析1:

定义在r上的函数f(x)满足：对于任意实数m，n，总有f (m n)=f (m) f (n)，当x0，0f(x)1。

(1)试求f(0)的值；

(2)判断f(x)的单调性，证明你的结论；

(3)设A={(x，y) | f (x2) f (y2) f (1)}，B={(x，y) | f (A={(x-y 2)=1，aR}，

如果a b=，试确定a的取值范围.

解法：(1)在f(m ^ n)=f(m)f(n)中，设m=1，n=0，

得到f (1)=f (1) f (0)。

因为f(1)0，f (0)=1。

(2)取x1，x2R，x1x2。

在已知的条件f (m n)=f (m) f (n)中，

如果m n=x2，m=x1，

那么已知条件就可以简化为：f (x2)=f (x1) f (x2-x1)。

因为x2-X10，0f (x2-x1) 1。

要比较f(x2)和f(x1)的值，我们只需要考虑f(x1)的正负。

在f (m n)=f (m) f (n)中，设m=x，n=-x，

那么f (x) f (-x)=1。

因为当x0，0f(x)1，

所以当x0时，f (x)=1/f (-x) 10。

F (0)=1，所以综上，对于任意x1R，

有f(x1)0。

所以f (x2)-f (x1)=f (x1) [f (x2-x1)-1] 0。

所以函数f(x)在r上单调递减.

(3) F (x2) F (y2) F (1)，即x2 Y21。

F (ax-y 2)=1=f (0)，即ax-y 2=0。

从a b=，直线AX-Y 2=0与圆面X2 Y21没有公共点，

所以2/(a2 1)1，解为-1 A 1。

如果函数y=f (x)在区间d内是增函数或减函数，则称函数y=f (x)在此区间内是(严格)单调的，区间d称为y=f (x)的单调区间。

函数的单调性反映了函数值域内某一区间内函数值的增减和图像的升降趋势。借助于函数值与自变量之间的关系，反映了自变量的变化趋势与相应函数值在函数区间内的变化趋势之间的关系，为函数应用开辟了一个新的天地。

与函数单调性相关的高考题，解释与分析二：

函数f(x)的定义域为(0，)，对于所有的x0和y0，有f (x/y)=f (x)-f (y)，当x1时，有f(x)0。

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性并证明；

(3)若f (4)=2，求f(x)在[1，16]上的值域。

解法：(1)当x0，y0，

f(x/y)=f(x)-f(y)，

设x=Y0，那么f (1)=f (x)-f (x)=0。

(2)设x1、

x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝f（x2/x1），

∵x2>x1>0.

∴x2/x1>1，

∴f（x2/x1）>0.

∴f(x2)>f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．

∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，

∵f(4)＝2，由f（x/y）＝f(x)－f(y)，

知f（16/4）＝f(16)－f(4)，

∴f(16)＝2f(4)＝4，

∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．

​​函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间。

函数单调性有关的高考题，讲解分析3：

已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.

(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．

​单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：

一是函数定义域的限制；

二是函数单调性的判定；

三是等价转化思想与数形结合思想的运用。

函数单调性是每年高考数学的热门考点，它作为函数的一个重要性质，反映了函数增减变化的规律，是解决方程、不等式、最值、含有实际背景的最优化问题的工具，是进一步学好高等数学的重要基础。