2021高考数学这4类出题一周后将在中考压轴埋下伏击,2021高考数学题出炉

“稳中求新”是今年高考数学的最大标签。重点讲授三角函数、概率统计、级数与不等式、解析几何、函数与导数等高中骨干内容，重视数学核心素养和数学文化数学的应用，避免“偏”、“难”、“杂”、“怪”题。相比2019年离开考场时的痛哭，2021年高考数学可以算是让更多考生进入那个好地方的一种温柔方式。

全国B卷(理科)第12题偏离常规套路，巧构函数解决比较大小问题，重在函数的思想；新高考第一卷第16题，以中国传统文化剪纸艺术为背景，重点阐述了转型的思想。全国B卷(文科)第11题和第20题都考查了方程思想；全国卷A(理科)第23道大题除了考查函数的思想和数形结合的思想外，还包含了分类的思想…

这些重要的数学思想方法，在中学数学教材中没有具体论述，却渗透在中学数学的各个组成部分。这四种思维方法堪称'杀手锏'中的'杀手锏'，不仅在今年的高考数学题中掀起波澜，还经常在中考数学压轴题中设下埋伏。

00-1010一周后，以下四道高考数学试题，稍加改动，将重现多个省市！

1函数和方程思想

函数方程是描述现实世界的有效模型。他们共同见证了人类思想从综合算术头脑到分析代数智慧的飞跃，一直是高考和中考的重难点。

现代科学鼻祖笛卡尔曾经提出一个大胆的猜想：“任何问题都可以化为数学问题，任何数学问题都可以化为代数问题，任何代数问题都可以化为方程问题。”方程思想被称为“通用代数模型”。

在解决数学问题中，善于挖掘问题中隐含的条件和关系，构造分辨函数和神奇函数的性质，是应用函数思想的关键。

以函数为载体，导数为工具的综合题一直是高考的压轴题。命题的热点话题多涉及含参函数的单调性、极值或最大值的探讨和讨论，恒等式和成立性的讨论等。如今年全国高考数学B卷第20题，全国第一卷第21题，新高考I卷第22题，北京卷第20题，上海卷第21题。

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而在中考数学中，求解函数解析式、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，可常将问题转化为解方程或方程组，以广西壮族自治区南宁市的一道中考题为例：

2 分类讨论思想

利用考生考场极易满足的心理和解题时易于考虑不周的思维漏洞，命题人时常会从定义的概念不同、数学公式或性质的限制条件、运算要求不同、参变量的取值不同及图形位置的不确定或实际问题的不同等设置层层埋伏，考察考生思维的缜密性，是否能有效运用分类讨论以降低问题解题的难度。

例如，今年高考数学全国甲卷第23题就需要分类讨论去掉绝对值：

有些解答题不仅在涉及的知识范围上带有较强的综合性，就问题本身来说也受到多种条件的制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决。

这时关键就在于能否把整体划分为若干个局部，分而治之，先“各个击破”解决局部问题，最后整体解决，以宁夏回族自治区的一道中考题为例：

如何有效制服这一"杀手"，解题时应牢记以下4条锦囊妙计：

深刻理解题目所揭示的基本知识与基本原理，思考运用哪些知识和原理解题，注意讨论的方法有异同；找准分类的标准，相同的问题可以有不同的分类方法，要加以甄别和取舍，选定的分类标准要有始有终；解题过程应条理清晰，层次分明，区别一级讨论和二级讨论，不出现逻辑错误；注意题设中的限制条件，挖掘隐含条件，合理简化讨论过程，做到不重复、不遗漏。

3 数形结合思想

谈到“数形结合”，我国数学家华罗庚曾为其美妙的“内在联系”作诗吟唱：

数缺形时少直觉，形缺数时难人微。

数形结合百般好，隔离分家万事非。

作为一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数学从本质上说就是研究“数”与“形”的，因此无论是在高考还是中考中，都尤为重视对“数形结合”思想的考查，表现在：

①是否能以数助形，运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题，如中学阶段的解析法、坐标法、三角法、复数法、向量法等；

②是否能以形论数，运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题，如高中阶段的图解法.

但在解这类题时考生往往只注意到代数知识或只注意到几何知识，而不太注意它们之间的相互转化。其实，这类题目大多以直角坐标系为桥梁，建立点与数即坐标之间的对应关系，充分获取图象信息，既能精确地以数看形，又能直观地以形论数，例如今年高考结束后许多考生直呼哭了的全国甲卷第19题：

而在中考数学的一些平面几何问题中，单就形论形，往往会因复杂而不能深入，若能适时选取变量，建立几何元素间的方程或函数关系，则能出奇制胜，以山东省临沂市的一道中考题为例：

4 转化化归思想

解数学题时在考什么？前苏联数学家、莫斯科大学教授C.A雅诺夫斯娅在《什么叫解题》中回答惊人简单，却揭示了解题的本质：

“解题就是把要解的问题转化为已经解过的问题。”

每解一道数学试题，无论难易，实际都离不开转化，它几乎可以渗透到所有的数学知识中，把已知化为未知，把复杂化为简单，是将相互关联的两个数学知识板块进行相互转化的重要依据，如：

代数与几何的转化；

函数和方程及不等式的转化；

空间与平面的转化；

高维向低维的转化；

无限向有限的转化；

实际问题与数学模型的互化等；

……

还有消元法、换元法、构造法、数形结合法等都体现了等价转化思想……在中高考占有十分重要的地位，可以说，中高考成千上百道试题，实际都在考察考生的转化意识和转化能力。

其中常量与变量的转化、数与形的转化、实际问题与数学模型的转化以及数学各分支之间的转化都是历年高考重点考查的热点问题，例如今年新高考I卷第16题需要化归成数列问题，再求数列的前列项和：

面对特定有限的考试时间，从何处下手，又向何方前进，能否在解题中灵活运用各种转化快速解题，同样也是取得中考数学好成绩的关键，以一道天津市中考题压轴题为例，能综合应用特殊与一般、数与形、构造等转化方法，则能将复杂问题化为简单问题：