关注数学应用考查实践能力2022年北京高考数学试卷权威解析,北京专家2020届高考模拟试卷一数学

来源：现代教育报

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2022年北京高考数学科目考试已经结束。北京教育考试院、北京教科院教研中心专家对今年北京高考数学试卷进行了权威分析。一起来看看吧

数学试卷的整体分析

坚持创新，推动高考改革再上新台阶

2022年高考数学北京卷坚持“以德为先、注重能力、全面发展”的命题理念，稳步推进新高考改革，形成了“一个中心、两个重点、三大亮点、四条路径”的评价体系。即以立德庶人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点；突出对主要知识、思维方法和解题能力的考查；通过优化试卷结构，创新呈现方式，精选考试材料，突出学科精髓，实现高考育人目标。

一个中心

通过教育培养美德

北京试卷命题坚持以德育人的根本任务，构建引导学生德、智、体、美全面发展的考试内容体系。问题7:以国家速滑博物馆“冰丝带”绿色环保场馆为背景，设置二氧化碳状态与温度、压力关系图，渗透德育。第18题以学生熟悉的体育比赛为背景，重点讲述统计学中数据收集、估计和预测的基本方法和原理，并渗透到体育教学中。

两个焦点

数学素养与创新能力

一个

数学素养

北京卷通过设计现实综合题，实现了对逻辑推理、直觉想象、数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。

以逻辑推理为目标，北京卷设计了至少5道题进行考试。比如第15题设置一个无穷正数数列，考查数列的基本概念，研究数列的增减，估计数列项的范围，判断数列是否为几何级数。四个选项同时考察了合理推理和演绎推理。鉴于直觉想象，北京试卷设计了至少4道题进行考试。比如9题，以正三棱锥为载体，以区域面积为出口，考察空间想象。问题的实质是研究球面与平面相交所得圆的性质。北京试卷设计了至少12道题用于数学运算。问题16。借助解三角形，同时考察双角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识。考察学生在操作过程中的严谨性和灵活性。针对数学抽象，北京卷设计了至少两道题进行考试。比如第20题()考察不等式的恒成立问题。它的背景是二阶导数大于0的结论，即具有凸性的抽象函数在一定条件下都具有它。此外，数学建模和数据分析也设置了不同的考试题目。

二

创新能力

北京卷设置关于创新和深度思考的题目，考察学生的创新能力。比如第20题(三)和21题，题目设计具有创新性，考查学生多角度、深入理解数学的本质。比如第20题()，二元函数不等式的证明，这是一个创新题，打破常规，要求学生固定一个变量，把一个动态问题变成静态问题，把一个二元问题变成一元问题来处理。考查学生在多元论与一元论、动态与静态、变量与常量、高等与初级等之间的辩证思维能力。第21题是综合题，综合了新定义、集合论、归纳、排除、演绎证明等思想和方法。考察学生的创新能力。

三

同时，北京卷关注学生的不同发展水平，通过设置问题梯度丰富的试题，实现对数学知识的全面考查。比如17题、20题、21题，都是多题，体现了层次性和全面性。这不仅为不同能力的学生搭建了舞台，也充分体现了数学课程标准中“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。

二

突出数学思想方法的考查。

北京卷以数学的整体意义和思想价值为目标，有效测试学生对数学基础知识和基本思维方法的掌握。比如第19题(二)考查数形结合的思想，第11、14题考查函数和方程的思想，第10题体现化归转化的思想，第18题考查概率统计的思想，第21题(三)考查分类讨论的思想。

三

突出问题解决能力考试

北京卷突出了数学的应用和跨学科考查。比如第7题，选择绿色冬奥作为情境，进行数学问题的创设。问题呈现了二氧化碳的三相图，可以让学生理解跨学科的知识。通过设置这一问题，可以引导学生认识到现实生活中的环境问题，树立负责任的公民意识。第18题以体育铅球比赛为背景，考察统计学中预测方法和步骤的全过程。在体育比赛中，尤其是在国际比赛中，对比赛结果进行预测是一个重要的研究方向和热门话题。通过解决这个问题，学生可以认识到概率统计知识与现实生活的紧密联系。

四条路

试卷结构，呈现方式，测试材料，数学本质

一个

优化试卷结构，体现基础和选择。

北京卷进一步优化了试卷结构，首次将立体几何的试卷改为结构差的问题，以一个正三棱柱为背景考察线与面的关系。从位置和测量两个方面给出两个等价条件供学生选择。这种尝试增强了试题的灵活性，对指导教学，防止试题和命题方法的固化起到了积极的作用。

关于试卷难度控制，继续保持试卷“易入口、宽口径”，中低难度试卷仍保持相当比例。同时，综合创新问题仍然具有挑战性，

并保持了较好的区分度，如第20题第三问，第21题有三问。

二

改革试题呈现方式，体现试题的选择性和开放性

北京卷通过创新题型，设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题等多种方式，体现试题的选择性和开放性。

第14题通过含参的动区间分段函数来设计问题，按照0与1为分界点分三种情况对参数进行讨论，考查学生思维的灵活性和多样性。第15题设置了一个无穷正数数列，考查数列的增减性、估计数列项的范围、判断数列是否为等比数列。解决此问题需要学生利用放缩的思想，递减数列的定义，数列的下界，反证的思想等去推证和证伪，考查学生对于高阶知识的理解和迁移的能力。

北京卷在命题技术和评分量表上进行持续探索。如设计分层赋分试题。优化了试题的区分和考查效果。

三

精选试题素材，体现数学与社会和学生生活的联系

北京卷在试题素材的选取上真实、自然、合理。如第7题的背景是 “冰丝带”国家速滑馆。场馆采用二氧化碳跨临界直冷制冰技术，碳排放趋近于零，体现了中国对于绿色冬奥的努力；第18题设置铅球比赛问题，源于国家规定如果成绩达到9.5m以上，可以获得国家“三级运动员”证书这样的背景，所设计的问题符合现实。材料源于社会、源于真实情境，考查学生问题解决的能力。

四

关注数学本质，引导教学回归课堂

北京卷命题体现数学本质，引导教学回归课堂。一是试题内容紧扣课标和教材，如第16题、第17题都是解三角形和立体几何的基础性问题，第19题、第20题是解析几何和导数问题，这四道题所考查的知识都是高中的基础知识，所使用的方法也是通性通法。二是试题关注数学本质。如第10题以平面几何切入，研究向量的数量积问题，学生可以用多种方式解决（建立直角坐标系，转化为直线和圆的位置关系问题求解；所求向量数量积最大的问题；三角函数的值域问题），考查学生对数学本质的理解。第20题和第21题分别考查导数和数列的本质，使学生从深层次去感悟数学的思想和方法。

总之，2022年高考数学继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持“立德树人、服务选才、引导教学”的命题指导原则，形成了“一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径”的评价体系，导向中学对“四具备”人才的培养，即具备自觉的数量观念的人、具备严密推理逻辑的人、具备高度抽象概括的人、具备一丝不苟、精益求精作风的人。引导教学在六个方面“下功夫”，即在主干知识的掌握上下功夫、在数学学科本质的理解上下功夫、在数学思想方法的领悟上下功夫、在数学应用探究上下功夫、在创新思维形成上下功夫、在数学素养的养成上下功夫。助力学生德智体美劳全面发展。

（作者：北京教育考试院 北辰）

试题解析

2022年高考北京数学试卷整体上符合国家课程标准要求，结合北京市高中数学教学的实际情况及学情特点，知识内容覆盖全面，突出主干；情境问题设计多样，指向数学素养。相比于去年，在试卷结构上保持一致，依然是单项选择题、填空题和解答题，每一部分题型的难度预设基本符合从易到难的分布；在考查内容上基本保持一致，强调基础性、综合性。在试题的表述形式上，简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式及作答方式坚持多样化，延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。命题的总体稳定有利于考生稳定心态，正常发挥，考出自己的数学真实水平。

01

创新问题情境，坚持素养导向

相比于去年，在试题的情境和设问上，适度变化，强调数学素养的发展。

如：第（16）题依然是解三角形问题，但是结构良好，对正弦定理和余弦定理的考查回归基础，突出考查数学运算素养；

第（17）题依然是立体几何问题，证明线面平行以及求线面角的设问也很熟悉，但是第二问的结构不良，需要在给出的两个条件中选出一个作为已知，以确定侧面的形状，考查学生思维的严谨性；

第（9）题以正三棱锥为载体，以集合语言描述题目的条件，涉及的计算并不复杂，突出考查直观想象素养。

02

注重基础知识，考查数学本质

试题重视考查数学的基础知识和基本方法，重点考查主干知识与核心概念。

如选择题的前5道题和填空题前3道题，涉及内容都是基础知识和基本方法，考查了集合、复数、直线与圆、函数概念、三角函数性质、函数定义域、双曲线的性质等内容。这些试题涉及的知识点相对单一，试题情境和设问比较熟悉，考查的也是对基础知识的掌握与理解，较为容易。

再如第（16）题的解三角形问题、第（19）题的直线与椭圆综合问题等，考查的均是主干知识与常规方法。

试题在体现知识考查的全面性、基础性和综合性的同时，突出考查了学生分析问题和解决问题的能力，重点关注数学本质和思维品质的考查。

如：第（8）题二项式定理问题，既可以利用初中的公式展开，也可以赋值利用通解通法来解决；

第（10）题的背景是一个向量问题，考查了用代数知识解决几何问题这个基本方法，体现了学生的数学思维水平；

第（20）题的利用导数知识解决函数综合问题，充分的体现了导数的工具作用，对函数知识本质的理解有一定要求。

03

关注数学应用，考查实践能力

试题关注数学知识和方法的灵活应用。实际应用问题关注学生的身边事，体现了数学源于生活且高于生活，以及数学作为基础学科的应用价值。如：第（7）题以北京冬奥会上国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术为背景，以图形方式给出二氧化碳所处的状态与温度、压强的关系，考查了学生读图、识图、分析图表数据、估值等数学应用能力；第（18）题以学生熟悉的校运会铅球比赛创设生活实践情境，通过研究甲乙丙三位同学以往的比赛数据，考查学生在不同容量的样本数据中，灵活运用概率统计知识分析问题和解决问题的能力，引导学生用数学的思考方式解决问题、认识世界。创新问题关注数学本质，体现数学的思维特点。如：第（21）题以数列为载体，考查学生对新情境新知识的理解，让学生在阅读数学符号和认识新概念的基础上，即时学习并创新应用，体现了获取新知识的能力和创新意识。

纵观整份试卷，保持了北京试卷基础、综合、灵活的特色，稳中求进。在突出对基础知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法考查的同时，突出对数学素养的考查，展现了数学学科的育人价值。这套试卷给不同能力水平的学生提供了展示的平台，对数学学科的日常教学及深化改革有积极的引导作用。

点评人

孙秀平：北京市西城区教育研修学院 正高级教师

赵慧娥：北京教育学院石景山分院 高级教师

李青霞：北京教育科学研究院 高级教师

编辑：付磊

编审：郝彬

终审：王宇 苏金柱 鲍丹禾

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