2022高考数学中的小学立体几何问题几何法与代数法的完美结合,2020年数学高考立体几何

2022年高考全国数学一卷立体几何题，需要用几何和代数两种方法求解。第一题用的是几何方法，是小学立体几何题。整篇论文，不仅这个地方，很多地方都有小学数学题的痕迹。

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，A1BC的面积为2根号2。

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设d为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

分析：(1)第一个问题中要求的距离，实际上是三棱锥A1-ABC的一个平面A1BC上的高度。这个三棱锥和三棱柱ABC-A1B1C1的底ABC相同，高度也相同(底ABC上的高度，不是上面说的高度)。三棱锥的体积是同底同高三棱柱的三分之一，即三分之四立方单位。

另一方面，从三棱锥的体积公式，知道一个面的面积，就可以得到这个面的高度，也就是所需的距离。这是一道小学立体几何的题。

但是第二个问题就没那么容易了。恐怕很难直接做二面角，用纯几何的方法解决这个问题。因为老黄受限于空间想象力的不足，只能用代数的方法求解。

代数法是为一个图形建立一个空间坐标系，然后用向量运算求解。但是，这个图不太可能直接成立。还需要找到适合构建系统的原点。观察图形后发现，B点可以是空间坐标系的原点。但还是要用几何证明来证明AB，BC，BB1相互垂直，这样才能作为坐标轴。让我们开始组织解决问题的过程：

解法：(1)记住A到平面A1BC的距离是H，那么

V三棱锥A1-ABC=hSA1BC/3=V三棱锥ABC-A1B1C1/3=4/3，

h=4/(2根号2)=根号2。也就是说，从A到平面A1BC的距离是根号2。

(2)取A1B的中点E，连接AE，DE，

那么AE=根号2，AA1=AB=2，A1B=2根号2。首先，AE是A点到平面A1BC的距离。因为平面A1BC平面ABB1A1，AE在平面ABB1A1上，并且垂直于两个平面的交线A1B，所以AE垂直于平面A1BC。另一方面，因为AA1=AB，所以三角形ABA1是等腰直角三角形，从而推导出后面线段的长度。

AE=A1B/2，AD=A1C/2，DE=BC/2，其中前两个方程可以由直角三角形的斜边中线和斜边的关系得到，后一个方程由三角形中线定理得到。

RtAEDRtA1BC，因为三条边是成比例的，这里的关键是推断三角形A1BC是直角三角形。

BC=2SA1BC/AB=2，直角三角形面积公式的变形

AEBC如此，A1BBC如此，BC如此，BCAB如此，这就形成了一个系统成立的充分条件。

b为原点，AB为X轴，BC为Y轴，BB1为Z轴，建立一个空间坐标系。三个坐标轴转换没关系，但是下面的坐标可以做相应的调整。

B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，2)，D(1，1，1)，

向量BD=(1，1，1)，向量BA=(2，0，0)，

设平面ABD的法向量n=(x，y，z)，

那么2x=0，x y z=0，解为：x=0，y=-z，

如果y=1，那么向量n=(0，1，-1)，只要y不取0，因为一个平面有无穷个法向量。

同样，求平面BCD的法向量m=(-1，0，1)，

cos=| vector n * vector m |/(| vector n | * | vector m |)=1/2，

Sin=根号(1-(cos ) 2)=根号3/2。

空间坐标系一旦建立，一切就水到渠成了。你能用纯几何方法解决这个问题吗？请随意分享！