一道高考题-2022年卷1第15题,2021高考模拟卷一

卓尔高考资源网 2023-01-18 16:38:14

一道高考题——2022年第1册第15题

Ruo曲线

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有两条切线穿过坐标原点。求a的取值范围。

求解：原问题是填空题，需要快速求解才能给出正确答案。这里我们给出解决问题的详细步骤。

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首先，切点在给定的曲线上。

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因为切线经过原点，所以切线的形式是y=kx，

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另外，如果原曲线的一个点P(x '，Y ')处的切线经过原点，那么这个点既在曲线上，也在经过点P的切线上，而点P处的切线斜率正好是Y的导数.推导给定曲线，导数为

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注意这里的y '是导数，不是上面切点的纵坐标。

也就是说，P点的导数是

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另外这条切线经过原点和点P(x，y)，显然它的斜率K=y/x(注意这里的x，y是坐标，不是导数，这是为了排版方便的原因)

使k和p点的导数相等：

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另外，点p在曲线上，满足曲线的方程(y '不是导数)。

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将它带入上面的等式：

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关于ex '，并将x '视为未知数x，方程就变成了一元二次方程：

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这个方程必须有两个不同的解才能保证两条切线都通过原点，所以它的判别式大于零。

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这个不等式的解是a0和a-4，是A满足曲线有两条切线过原点的范围。