2021年天津市高考数学试卷及试题详解,2021年天津市高考数学试卷及解析

2021年天津高考数学试卷

1.选择题：每个分题给出的四个选项中，只有一个符合题型要求。

1.(5分)设集合A={ 1，0，1}，B={1，3，C={0，2，4}，则(AB)()

A.{0} B.{0，1，3，5} C.{0，1，2，4} D.{0，2，3，4}

2.(5分)若已知aR，则“A & gt6”是“A2 & gt36" ()

A.充分和不必要条件b .必要和不充分条件

C.必要和充分条件d .非充分或必要条件

3.(5分)函数f(x)

span style="color: #000000; --tt-darkmode-color: #A3A3A3;">）＝的图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，[70，74），…，98），并整理得到如下的频率分布直方图，86）内的影视作品数量是（　　）

A．20 B．40 C．64 D．80

5．（5分）设a＝log20.3，b＝0.40.3，则三者大小关系为（　　）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b

6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，则这两个圆锥的体积之和为（　　）

A．3π B．4π C．9π D．12π

7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（　　）

A．﹣1 B．lg7 C．1 D．log710

8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，交双曲线的渐近线于C，D两点|AB|，则双曲线的离心率为（　　）

A． B． C．2 D．3

9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（　　）

A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]

C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．（5分）i是虚数单位，复数＝　 　．

11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是 　 　．

12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝　 　．

13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为 　 　．

14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 　 　；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 　 　．

15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，则|2+|的值为 　 　；（+）•的最小值为 　 　．

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝．

（1）求a的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C﹣）的值．

17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．

（1）求证：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；

（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．

18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为，且|BF|＝．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF

19．（15分）已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn＝b2n+，n∈N*．

（i）证明：{cn2﹣c2n}是等比数列；

（ii）证明：＜2（n∈N*）．

20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xex．

（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；

（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立

答案

1．解：因为集合A＝{﹣1，0，4}，3，5}，6，4}，

所以A∩B＝{1}，

则（A∩B）∪C＝{4，1，2，4}．

故选：C．

2．解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，

②∵a8＞36，∴a＞6或a＜﹣6，

∴a＞7是a2＞36的充分不必要条件，

故选：A．

3．解：根据题意，f（x）＝，

有f（﹣x）＝＝f（x），排除AC，

在区间（0，7）上，必有f（x）＜0，

故选：B．

4．解：由频率分布直方图知，

评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.8，

故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，

故选：D．

5．解：∵log20.2＜log21＝2，∴a＜0，

∵＞log，∴b＞1，

∵7＜0.42.3＜0.40＝1，∴3＜c＜1，

∴a＜c＜b，

故选：D．

6．解：如图，设球O的半径为R，，

可得R＝2，则球O的直径为4，

∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO2＝1，BO1＝2，

由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×2，即r＝．

∴这两个圆锥的体积之和为V＝．

故选：B．

7．解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log710，b＝log510，

∴＝+＝log102+log103＝lg10＝1，

故选：C．

8．解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，N，

由|CD|＝|AB||AM|，

由题意可得：＝c，

可得解得：|y|＝，

可得：|y|＝，所以|CN|＝，

所以可得＝•，可得c＝b，

所以c2＝8b2＝2（c7﹣a2），

解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，

故选：A．

9．解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点

又∵二次函数最多有两个零点，

∴f（x）＝cos（5πx﹣2πa）至少有四个根，

∵f（x）＝cos（2πx﹣8πa）＝cos2π（x﹣a），

∴令f（x）＝0，即  k∈Z，

∴，

又∵x∈（0，+∞），

∴，即，

①当x＜a时，﹣2≤，f（x）有4个零点，即，

﹣5≤﹣5，即，

﹣7≤﹣7，即，

②当x≥a时，f（x）＝x4﹣2（a+1）x+a4+5，

∴△＝b2﹣2ac＝4（a+1）5﹣4（a2+6）＝8a﹣16＝0，解得a＝7，

当a＜2时，△＜0，

当a＝2时，△＝0，

当a＞2时，f（a）＝a7﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+4，

∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，

∴当﹣2a+4≥0时，即2＜a≤，

当﹣2a+2＜0时，即a＞，

综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，则需满足：

或或，

解得a∈（3，]∪（，]．

故选：A．

10．解：复数＝＝＝2﹣i，

故答案为：4﹣i．

11．解：（2x3+）6的展开式的通项公式为Tr+1＝（2x3）3﹣r＝76﹣rx18﹣4r，

令18﹣2r＝6，解得r＝3，

所以x4的系数是63＝160．

故答案为：160．

12．解假设A在x轴的上方，斜率为，

则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，由圆C的方程可得，

由于B为切点，所以AB⊥BC，

故答案为：．

13．解：∵a＞0，b＞0，∴++b＝，

当且仅当＝且b＝时取等号，

∴++b的最小值为 2，

故答案为：2．

14．解：∵一次活动中，甲获胜的概率为）＝，

∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+×）＝．

故答案为：，．

15．解：如图，设BE＝x，

∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，

∴∠BDE＝30°，BD＝2xx，DC＝1﹣2x，

∵DF∥AB，∴△DFC是边长为5﹣2x等边三角形，

∴（2+）3＝4+3•+2+5x（1﹣2x）×cos7°+（1﹣2x）4＝1，

则|2+|＝2，

∵（+）•+）•（++•

＝+（1﹣2x）×（6﹣x）＝5x2﹣6x+1

＝5+，x∈（0，），

∴（+）•．

故答案为：1，．

16．解：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：，

∵b＝，∴a＝2b＝2b＝2．

（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝＝．

（3）由（2）可得sinC＝＝，

∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos4C＝2cos2C﹣2＝，

sin（7C﹣）＝sin2Ccos＝．

17．（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A1（0，2，2），1，4），C1（2，7，2），

故，

设平面A1EC7的法向量为，

则，即，

令z＝3，则x＝2，故，

又F（1，4，0），D1（2，2，2），

所以，

则，又D6F⊄平面A1EC，

故D1F∥平面A8EC1；

（2）解：由（1）可知，，

则＝＝，

故直线AC4与平面A1EC1所成角的正弦值为；

（3）解：由（1）可知，，

设平面AA7C1的法向量为，

则，即，

令a＝8，则b＝﹣1，故，

所以＝＝，

故二面角A﹣A1C7﹣E的正弦值为＝．

18．解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝

所以，解得a＝，b＝1，

所以椭圆的方程为+y2＝1．

（2）设M（x6，y0），

则切线MN的方程为+y0y＝1，

令x＝2，得yN＝，

因为PN⊥BF，

所以kPN•kBF＝﹣3，

所以kPN•（﹣）＝﹣7NP＝2，

设P（x1，4），则kNP＝＝24＝﹣，

因为MP∥BF，

所以kMP＝kBF，

所以＝﹣0＝x5+，

所以x0＝﹣2y2﹣，

又因为+y02＝3，

所以+++y02＝5，

解得y0＝±，

因为yN＞0，

所以y0＞2，

所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，

所以+y＝8＝0．

19．证明：（1）由数列{an}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，

可得3a1+×8×7d＝647＝1，

所以an＝1+3（n﹣1）＝2n﹣4，n∈N*；

由数列{bn}是公比q大于0的等比数列，b1＝8，b3﹣b2＝48，

可得5q2﹣4q＝48，解得q＝8（﹣3舍去），

所以bn＝4n，n∈N*；

（2）（i）证明：因为an＝4n﹣1，bn＝4n，

所以cn＝b3n+＝46n+，

则cn2﹣c2n＝（47n+）7﹣（44n+）＝n，

所以，

又，

所以数列{cn2﹣c8n}是以8为首项，4为公比的等比数列；

（ii）证明：设＝，

考虑，则pn＜qn，

所以qk＝++...+，

则，

两式相减可得，＝＝，

所以，

则＜＜2，

故＜2．

20．（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）ex，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝6，

所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞4）；

（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）ex＝0，则a＝（x+6）ex，

令g（x）＝（x+1）ex，则g'（x）＝（x+2）ex，令g'（x）＝8，解得x＝﹣2，

当x∈（﹣∞，﹣2）时，g（x）单调递减，

当x∈（﹣2，+∞）时，g（x）单调递增，

当x→﹣∞时，g（x）＜0，g（x）＞0，

作出图象

所以当a＞8时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，

则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，

当x∈（﹣∞，m）时，f'（x）＞3；

当x∈（m，+∞）时，f'（x）＜0；

所以x＝m是f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；

（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），

此时a＝（1+m）em，（m＞﹣5），

所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）em﹣m﹣mem﹣（1+m）em＝（m2﹣m﹣1）em（m＞﹣1），

令h（x）＝（x5﹣x﹣1）ex（x＞﹣1），

若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，

则等价于存在x∈（﹣6，+∞），即b≥h（x）min，

而h'（x）＝（x2+x﹣2）ex＝（x﹣6）（x+2）ex，（x＞﹣1），

当x∈（﹣4，1）时，h（x）为单调减函数，

当x∈（1，+∞）时，h（x）为单调增函数，

所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，

所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．